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Rédacteur: Lucia Camenisch

A traiter [edit]

• Définition
• Théorème 2.19 avec preuve
• Cas spéciaux, automorphismes supplémentaires
• Cas des corps non-algébriquement clos
• Bijection définie par l'invariant \(J\)

Notations [edit]

Dans cet article, \(K\) désignera un corps de caractéristique différente de \( 2 \) ou \( 3 \) et \( E \) désignera la courbe elliptique de discriminant non-nul définie par \( y^2=x^3+Ax+B \) avec \( A \) et \( B \) dans \( K \).

Courbes isomorphes [edit]

Soient donc \(K\) et \( E \) comme ci-dessus.

Soit \( \mu \in \overline{K}^\times \). Posons:

\( \tilde{x} = \mu^2x \)

\( \tilde{y} = \mu^3y \)

L'équation de \( E \) devient: \( \frac{{\tilde{y}}^2}{\mu^6} = \frac{{\tilde{x}}^3}{\mu^6} + A\frac{\tilde{x}}{\mu^2} +B \Longleftrightarrow \tilde{y}^2=\tilde{x}^3+\mu^4A\tilde{x}+\mu^6B \)

En définissant:

\( \tilde{A}= \mu^4A \)

\( \tilde{B}= \mu^6B \)

Nous avons obtenu une nouvelle équation de courbe elliptique \( \tilde{E} \) dans \( \overline{K}\):

\( \tilde{y}^2=\tilde{x}^3+A\tilde{x}+B \)

Définition: \( E \) et \( \tilde{E} \) sont dites isomorphes dans \( \overline{K}\) s'il existe \( \mu \) comme ci-dessus permettant de passer d'une courbe à l'autre.

Invariant \( J \) [edit]

Définition: L'invariant \( J \) de \( E \) est \( J = J(E) = 1728 \frac{4A^3}{4A^3+27B^2}\)

\( J \) est bien défini car \(-(4A^3+27B^2)\) est le discriminant de la courbe, supposé non-nul.

De plus, \( J\) est invariant par l'isomorphisme de courbe défini ci-dessus:

\( J(\tilde{E}) = 1728 \frac{4\tilde{A}^3}{4\tilde{A}^3+27\tilde{B}^2} = 1728 \frac{4\mu^{12}A^3}{4\mu^{12}A^3+27\mu^{12}B^2} = 1728 \frac{4A^3}{4A^3+27B^2} = J(E)\)

Théorème [edit]

Théorème: Soient \( E_1 \), \( E_2 \) deux courbes elliptiques et \( y_i^2=x_i^3+A_i x_i +B_i \) leurs équations respectives avec \( i=1,2 \). Si \( J_1=J_2 \), il existe \( \mu \in \overline{K}^\times \) tel que

\( A_2=\mu^4A_1 \)

\( B_2=\mu^6B_1 \)

Autrement dit, \( E_1\) et \( E_2\) sont isomorphes et \(\mu\) permet de passer d'une équation à l'autre.

Démonstration:

Supposons que \( A_1 \neq 0\). Alors:

\( A_1 \neq 0 \Longrightarrow J_1 \neq 0 \Longrightarrow J_2 \neq 0 \Longrightarrow\ A_2 \neq 0\)

Donc, il existe \( \mu \in \overline{K}^\times \) tel que \( A_2 = \mu^4 A_1\).

Ainsi:

\( \frac{4A_2^3}{4A_2^3+27B_2^2} = \frac{4A_1^3}{4A_1^3+27B_1^2} = \frac{4\mu^{-12}A_2^3}{4\mu^{-12}A_2^3+27B_1^2} = \frac{4A_2^3}{4A_2^3+27\mu^{12}B_1^2}\)

Le fait que \( J_1=J_2\) nous donne la première égalité. Pour avoir la deuxième égalité, il faut remplacer en utilisant \( A_2 = \mu^4 A_1\).

Nous pouvons donc déduire:

\( B_2^2= \mu^{12} B_1^2 \Longleftrightarrow B_2 = \pm \mu^6B_1\)

Si \( B_2 = \mu^6B_1\), la preuve est terminée.

Si \( B_2 = -\mu^6B_1\), en posant \( \tilde{\mu} = i\mu \), nous obtenons \( A_2=\tilde{\mu}^4A_1 \) et \( B_2=\tilde{\mu}^6B_1 \), ce qui conclut la démonstration.

Reste à voir le cas \( A_1 = 0\).

Alors, \( J_1 =J_2 =A_2 = 0\) comme avant.

Les discriminants de \( E_1 \) et \( E_2 \) étant non nuls, il faut que \( B_1 \) et \( B_2 \) soient non nuls.

Ainsi, il existe \( \mu \in \overline{K}^\times \) tel que \( B_2 = \mu^6 B_1\).

Trivialement, nous aurons également \( A_2 = \mu^4 A_1\). \( \blacksquare \)

Remarque: Lorsque l'on cherche \( \mu \in \overline{K}^\times \) tel que le théorème soit vrai, nous devons passer à la cloture algébrique car il faut résoudre des équations en utilisant possiblement des racines. Le théorème est faux si l'on se restreint à \( K \) comme valeurs possibles de \( \mu \).

Automorphismes supplémentaires [edit]

Les courbes elliptiques étudiées ici possèdent toutes un automorphisme non trivial:

\( (x,y) \longmapsto (x,-y)\)

De plus, si \( J \) prend certaines valeurs, nous avons des automorphismes supplémentaires.

Si \( J=0\), nous avons \( A=0\) et donc l'équation de \( E\) devient \( y^2=x^3+B\). Il y a dans ce cas deux automorphismes:

\( (x,y) \longmapsto (e^{i\frac{2\pi}{3}}x,y)\)

\( (x,y) \longmapsto (e^{i\frac{4\pi}{3}}x,y)\)

Si \( J=1728\), nous avons \( B=0\) et donc l'équation de \( E\) devient \( y^2=x^3+Ax\). Il y a dans ce cas un automorphisme:

\( (x,y) \longmapsto (-x,iy)\)

Il est facile de vérifier en remplaçant dans l'équation de \( E\) que ce sont bien des automorphismes.

Corps non algébriquement clos [edit]

Prenons deux courbes sur un corps non algébriquement clos. Il est possible qu'elles aient le même invariant \( J \), mais elle ne seront pas nécessairement isomorphes sur \( K \). En effet, le théorème indique que \( \mu \in \overline{K}^\times \) et cela garantit donc uniquement un isomorphisme sur \( \overline{K} \).

Bijection définie par \(J\) [edit]

Soit \(J \in K\). Nous définissons la courbe elliptique \(E_J\) comme suit:

\( y^2=x^3+\frac{3J}{1728-J}x+ \frac{2J}{1728-J} \)

En utilisant la définition de l'invariant \(J\), nous pouvons vérifier que l'invariant de cette courbe est bien égal à \(J\).

Donc, à chaque élément de \(K\) correspond une classe de courbes elliptiques définies à isomorphisme près sur \(\overline{K}\).

Cela induit ainsi une bijection entre \(K\) et les classes de courbes elliptiques sur \(K\).

Références [edit]

[1] Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Section 2.7.