Objectifs

Le cours fournit une introduction à la géométrie des variétés différentiables et des champs de vecteurs.


Contenu

1. Applications différentiables. Sous-variétés. Variétés abstraites. Vecteurs tangents.

2. Champs de vecteurs. Points singuliers. La caractéristique d’Euler.

3. Equations différentielles ordinaires comme champs de vecteurs.

  • Objectifs

Avec l'arrivée des super ordinateurs avec des millions de processeurs, il ne suffit plus de paralléliser les
algorithmes pour la résolution approchée des équations aux dérivées partielles en espace. En effet, les
méthodes arrivent rapidement à saturation et le temps de solution ne diminue plus, même si on utilise
encore plus de processeurs. Pour des équations qui dépendent du temps, on pourrait essayer de
paralléliser aussi en temps, mais est-ce possible de calculer le futur lointain sans connaître le futur
proche ? À première vue, ceci ne semble pas possible. Néanmoins, ces dernières années, un effort
considérable en recherche a été consacré à cette approche et les chercheurs ont trouvé des méthodes qui
permettent de calculer les solutions simultanément en espace et en temps en parallèle. Ce cours est une
introduction à ces méthodes numériques fascinantes et c'est très probablement la première fois au monde
qu'un tel cours est donné.

  • Contenu
  1. Les méthodes basées sur la méthode de tir multiple, menant à l'algorithme para-réel.
  2. Les méthodes de relaxations d'ondes, de type Schwarz, Dirichlet-Neumann et Neumann-Neumann.
  3. Les méthodes multi-grilles en espace et temps.
  4. Les méthodes non-itératives pour le parallélisme en temps.

Introduction à l’algèbre linéaire, son interprétation géométrique et ses applications. Compréhension de la structure algébrique des espaces vectoriels réels et complexes et des applications linéaires. Nombres complexes et calcul matriciel.