- Enseignant-e: Martin Jakob Gander
- Enseignant-e: Liudi Lu
Objectifs:
Ce cours donne une introduction à l'analyse numérique des équations
aux dérivées partielles suivant une recommandation de Émile Picard
(1893):
"Les méthodes d’approximation dont nous faisons usage sont théorique-
ment susceptibles de s’appliquer à toute équation, mais elles ne
deviennent vraiment intéressantes pour l’étude des propriétés des
fonctions définies par les équations différentielles que si l’on ne
reste pas dans les généralités et si l’on envisage certaines classes
d’équations."
On choisira alors comme classe d'équations les processus de diffusion
anisotrope, comme discretisation la méthode de volume finis et la plus
récente invention des DDFV (Discrete Duality Finite Volumes), avec des
propriétés géométriques spectaculaires, et comme méthode de résolution
des problèmes discrétisés la classe de méthodes de Schwarz, qui ont
leur racines dans une faute dans la preuve du dernier théorème de
Riemann dans sa thèse de doctorat.
Contenu (prévu):
1. Introduction: processus de diffusion, idée de discretisation et
méthodes de Schwarz.
2. Méthodes de Schwarz continues: la méthode alternée et parallèle,
analyse de Fourier, méthodes de Schwarz optimisées, application aux
processus de diffusion anisotrope.
3. Discretisation par la méthode de volumes finis: volume finis
classiques de type cell centered et vertex centered sur des
maillages cartésiens, conditions aux bord de type Dirichlet,
Neumann, Robin et Ventcel, algorithmes de Schwarz et analyses de
Fourier discrètes.
4. Méthodes de volumes finis sur des maillages arbitraires, TPFA (Two
Point Flux Approximation), Discrete Duality Finite Volumes,
algorithmes de Schwarz discrètes pour la diffusion anisotrope.
Application au traitement d'images.
Pré-requis: cours d'analyse et d'algèbre, un premier cours d'analyse
numérique.