Informations du cours

Objectifs

Le but de ce cours est d'introduire les étudiants à l'analyse mathématique des systèmes sur réseau et des transitions de phase associées. C'est sur ce type de modèles que repose la plus grande partie de l'étude mathématique de la physique statistique, branche dont le but est la dérivation des propriétés des systèmes macroscopiques à partir de leur description microscopique. De nombreux concepts, techniques et modèles d'importance fondamentale seront introduits. Afin de minimiser les difficultés purement techniques, le cours privilégiera la discussion d'exemples importants à la dérivation des résultats les plus généraux possibles.

Contenu

Les premières semaines du cours seront consacrées à la discussion détaillée de l'un des modèles les plus étudiés, le modèle d'Ising, dont on construira le diagramme de phase. Ceci nous permettra d'introduire de nombreux concepts, outils et résultats fondamentaux (transition de phase, potentiel thermodynamique, paramètre d'ordre, inégalités de corrélation, états de Gibbs, développements basse et haute température, argument de Peierls, théorème de Lee-Yang, etc.). La seconde partie du cours pourra aller dans trois directions, au choix des étudiants : la première serait consacrée aux modèles à symétrie continue (champ libre gaussien, théorème de Mermin-Wagner, positivité sous réflexion) ; la seconde présenterait la théorie de Dobrushin-Lanford-Ruelle, dont le but est la construction générale de systèmes infinis de particules en interaction et les propriétés génériques de tels systèmes ; la troisième serait consacrée au modèle de gaz sur réseau et se focaliserait sur les potentiels thermodynamiques, l'équivalence des ensembles, la dérivation rigoureuse de la construction de Maxwell, etc.

Le cours sera basé sur le livre

dont une version peut être librement téléchargée ici.