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Rédacteur: [Vassiliki BERIS]

A traiter [Modifier]

• Calcul détaillé de l'exemple 11.4.

Préambule. [Modifier]

Rappel des définitions:

Uniformisateur: Un uniformisateur au point \(P\) est une fonction notée \(u_{P}\) qui permet de définir l'ordre d'un zéro ou d'un pôle d'une fonction \(f\) à un certain point \(P\).

\(f\) peut s'écrire comme: \(f=u_{P}\)\(^r\) \(g\) avec \(r \in Z\) et \(g(P)≠0 \) ou \(\infty\).

Ordre: L'ordre de \(f\) en \(P\) est ce même \(r\) : \(ord_{P}(f) = r\)

Diviseur de \(f\) : Pour une fonction \(f\not=0 \) sur \(E\), on définit le diviseur de \(f\) comme étant : \(div(f) = {\sum}_{P\in
E(\bar{K})}ord_{P}(f)[P] \in Div(E) \)

Diviseur d'une fonction \(f\) de la forme \(f(x,y) = ax + by +c\): (cf. Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Section 11.1 pp.342-343)

Soient \(P_1,P_2,P_3\) trois points sur \(E\) sur la droite \(ax + by +c = 0\). Alors la fonction \(f(x,y) = ax + by +c\) possède des zéros en \(P_1,P_2,P_3\). Si \(b\not= 0\), alors \(f\) possède un triple pôle en \( \infty\ \).

Ainsi, \(div(ax + by +c) = [P_1] + [P_2] + [P_3] -3[\infty\)].

La droite passant par \(P_3 = (x_3,y_3)\) et \(-P_3\) est \(x-x_3 = 0\). Le diviseur de la fonction \(x-x_3\) est: \(div(x-x_3) = [P_3] + [-P_3] -2[\infty\)].

Et donc \(div(\frac{ax + by +c}{x-x_3} )= div(ax + by +c) - div(x-x_3) = [P_1] + [P_2] - [-P_3] -[\infty\)].

Comme on l'a vu, sur une courbe elliptique, \(P_1 + P_2 = -P_3\); on peut donc réecrire: \(div(\frac{ax + by +c}{x-x_3} )= [P_1] + [P_2] - [P_1 + P_2] -[\infty\)] \(\iff [P_1] + [P_2] = [P_1 + P_2] + [\infty\)] + \( div(\frac{ax + by +c}{x-x_3} )\)

Rappel du théorème 11.2

Théorème 11.2: Soient \(E\) une courbe elliptique et \(D\) un diviseur sur \(E\) avec \(deg(D)=0\). Alors, il existe une fonction \(f\) sur \(E\) avec \(div(f)=D\) si et seulement si \(sum( D) = \infty\).

Exemple 11.4 [Modifier]

Dans cet exemple, nous nous placerons sur la courbe elliptique \(E d'équation y^2=x^3+4x\)] définie sur \( \mathbb{F}_{11} \). Nous allons construire une fonction \(f\) dont le diviseur \(D\) \(= [(0,0)] + [(2,4)] + [(4,5)] + [(6,3)] - 4\)[\(\infty\)] correspond aux hypothèses du théorème 11.2 (à savoir \(deg(D)=0\) et \(sum(D)=\infty\) ). On illustrera le théorème par cet exemple en montrant que l'on obtient bien \(D = div(f).\)

Considérons la courbe elliptique \(E\) sur \( \mathbb{F}_{11} \) donnée par \(y^2=x^3 +4x\).

Soit \(D\) le diviseur donné par: \(D\) \(= [(0,0)] + [(2,4)] + [(4,5)] + [(6,3)] - 4\)[\(\infty\)]

Pour pouvoir utiliser les théorème, vérifions que \(deg(D)=0\) et \(sum(D)=\infty\):

Calcul de \(deg(D)\) et \(sum(D)\)

Rappelons les définitions. pour \(D\)= \({\sum}_{i}a_i[P_i]\), \(a_i \in\mathbb{Z}\)

• \(deg(D)={\sum}_{¡}a_i\in\mathbb{Z}\)
• \(sum(D)={\sum}_{i}a_iP_i \in
  E(\bar{K}) \)

Calculons donc \(deg(D)\) et \(sum(D)\):

Degré: \(deg(D) = 1 + 1 + 1 + 1 - 4 = 0\) (On a bien \(deg(D) = 0\),comme voulu)

Somme: On calcule \(sum(D)\) grâce aux propriétés d'addition dans les courbes elliptiques.

\(sum(D)\)\( = (0,0) + (2,4) + (4,5) + (6,3) -4\)(\(\infty\))

1. Pour calculer \((0,0) + (2,4)\), on calcule la pente \(m\) entre ces deux points: \(m=\frac{4-0}{2-0} = 2\) et le point \(P\) résultant: \(P =(m^2 - 2 - 0, m\cdot(0-(m^2-2-0))-0) = (2,2\cdot(0-2)-0) = (2,-4) = (2,7) \) (NB: On se trouve dans \( \mathbb{F}_{11}\) donc ces deux points sont équivalents). (On vérifie que \((2,-4)\) appartient bien à \(E\) : \( y^2 = (-4)^2 = 16 = 5\) et \( x^3 + 4x = 16 = 5\) ).
2. On calcule ensuite \((2,7) + (4,5)\). De la même manière, on obtient la pente \(m\) entre ces deux points, donnée par \(m=\frac{5-7}{4-2} = -1\), et le point \(P = ((-1)^2-4-2 , (-1)\cdot(2-((-1)^2-4-2))-7) = (6, (-1)\cdot(2-6)-7) = (6,-3)=(6,8) \) (On vérifie que le point \((6,8)\) appartient bien à \(E\) : \(y^2 = 64 = 9\) et \(x^3 + 4x = 512 + 32 = -6 = 9 \).
3. On calcule \((6,-3) + (6,3)\), en utilisant les propriétés d'addition dans les courbes elliptiques lorsque les points \(x_{1} = x_{2}\) : Dans ce cas, la pente \(m=\infty\) et on définit le point \(P\) résultant: \(P\) = \(\infty\).
4. Enfin, on calcule \(\infty\) \(- 4\)(\(\infty\))\(= \)\(\infty\), puisqu'il s'agit de l'élément neutre du groupe (\(E\),+)

On a donc bien vérifié que \(sum(D) = \infty\ \)

Ainsi, par le théorème 11.2, \(D\) est le diviseur d'une certaine fonction \(f\). Trouvons \(f\).

Calcul détaillé de l'exemple.

A. Les points \((0,0)\) et \((2,4)\)

• La droite \(L_{1}\) reliant \((0,0)\) à \((2,4)\) a pour équation \(y = m\cdot(x-x_1) + y_1\), où \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\ = \frac{4-0}{2-0}\ = 2 \).On a donc \(y = 2\cdot(x-0) + 0 \) = \(2x \iff y-2x = 0\)

On a vu que lorsqu'une droite de la forme \(ax + by + c\) passe par les points \(P_1, P_2, P_3\), son diviseur est donné par \([P_1] + [P_2] + [P_3] - 3[\infty]\). (cf préambule).

Dans notre cas, \(2x-y\) passe par \((0,0)\) et \((2,4)\), où \((2,4)\) est un point double. (En effet, pour \(y = 2x\), l'équation de la courbe est donnée par \((2x)^2 = x^3 + 4x \iff x^3 - 4x^2 + 4x = \iff x \dot (x-2)^2 = 0\))

On a donc que pour \(P_{1} = (0,0)\) et \(P_{2} = P_{3} = (2,4)\) : \(div(y-2x)\) \(= [(0,0)] + 2[(2,4)] - 3\)[\(\infty\)]

• La droite verticale passant par les points \((2,4)\) et \((2,-4)\) est \(x = 2 \iff x-2=0\) et donc le diviseur de cette fonction est donnée par (cf préambule):

\(div(x-2)\)\( = [(2,4)] + [(2,-4)] - 2\)[\(\infty\)].

Ainsi, on a que \(div(\frac{y-2x}{x-2})\) = \(div(y-2x)\) - \(div(x-2)\) \(= [(0,0)] + 2[(2,4)] - 3\)[\(\infty\)] \(- [(2,4)] - [(2,-4)] +2\)[\(\infty\)] \(= [(0,0)] + [(2,4)] - [(2,-4)] - \)[\(\infty\)] \(\iff [(0,0)] + [(2,4)] = [(2,-4)] + [\infty\)] + \(div(\frac{y-2x}{x-2}) \)

En substituant dans le diviseur \(D\), on obtient:

\(D = [(0,0)] + [(2,4)] + [(4,5)] + [(6,3)] - 4[\infty\)] \(= [(2,-4)]\) + \(div(\frac{y-2x}{x-2}) + [(4,5)] + [(6,3)] -3[\infty\)]

B. Les points \((4,5)\) et \((6,3)\)

La droite \(L_{2}\) reliant \((4,5)\) à \((6,3)\) (équivalant à \((4,-6)\) et \((-5,3)\) dans \( \mathbb{F}_{11}\)) a pour équation \(y = m\cdot(x-x_1) + y_1\), où \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\ = \frac{3+6}{-5-4}\ = -1 \). On a donc \(y = -1\cdot(x-(-6)) + 4 \) = \(-x-2 \iff y+x+2 = 0\)

Comme \(L_{2} = y + x + 2\) passe par les points \((4,5)\), \((6,3)\) et \((2,-4)\), nous pouvons utiliser la décomposition exprimée dans le préambule qui nous donne:

\(div(y + x + 2) = [(4,5)] + [(6,3)] + [(2,-4)] - 3\)[\(\infty\)]

et pour \( x - 2 = 0\) la droite passant par \( (2,-4)\) et \((2,4)\), on a \( div(x-2)\)\( = [(2,4)] + [(2,-4)] - 2\)[\(\infty\)] . On peut alors poser: \(div(\frac{y+x+2}{x-2}) = div(y + x + 2) - div(x-2) = [(4,5)] + [(6,3)] - [(2,4)] -\)[\(\infty\)]

Ainsi, puisque \( [(4,5)] + [(6,3)] = [(2,4)] +\)[\(\infty\)] \(+ div(\frac{y+x+2}{x-2}) \), notre diviseur \(D\) devient :

\(\longrightarrow\) \(D = [(2,-4)]\) + \(div(\frac{y-2x}{x-2}) + [(4,5)] + [(6,3)] -3[\infty\)] \( = [(2,-4)]\) + \(div(\frac{y-2x}{x-2}) + [(2,4)] + div(\frac{y+x+2}{x-2}) -2[\infty\)]

C. Algèbre:

On a vu précédemment que \( div(x-2)\)\( = [(2,4)] + [(2,-4)] - 2\)[\(\infty\)] .

On a donc \(D = div(\frac{y-2x}{x-2}) + div(\frac{y+x+2}{x-2}) + [(2,-4)]+ [(2,4)] -2[\infty\)] \( \iff D = div(\frac{y-2x}{x-2}) + div(\frac{y+x+2}{x-2}) + div(x-2)\).

On décompose et on obtient: \(D = div(x-2) + div(y -2x) - div(x-2) + div(y+x+2) - div(x-2)\) \(= div(\frac{(y-2x)(y+x+2)}{x-2}) \)

On peut simplifier le numérateur de la fonction: \(\frac{(y-2x)(y+x+2)}{x-2}\) ;

\((y-2x)(y+x+2) = y^2 + xy + 2y - 2xy - 2x^2 - 4x = y^2 - 2x^2 - xy + 2y - 4x\).

Puisque \( y^2 = x^3 + 4x\), on a : \( (y-2x)(y+x+2) = x^3 - 2x^2 - xy + y = (x-2)(x^2-y) \). Ainsi, on a:

\(D = div(\frac{(y-2x)(y+x+2)}{x-2}) = div(\frac{(x-2)(x^2-y)}{x-2}) = div(x^2-y).\)

\(\Rightarrow f = x^2-y\)

On obtient donc une fonction \(f=x^2-y \) telle que \(D = div(x^2-y)\) comme voulu.

Références [Modifier]

1. Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Section 11.1.
2. Sujet 4: Loi de groupe sur les courbes elliptiques I: Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Section 2.2.