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Rédacteur : Mélanie Marques

A traiter [modifica]

• Théorème 11.2: énoncé, preuve étant donné le Lemme 11.3.
• Lemme 11.3, énoncé.
• Corollaire 11.4

Rappel [modifica]

Définitions

(1) On appelle le groupe des diviseurs d'une courbe elliptique \(E\), noté \(div(D)\), le groupe abélien librement engendré par les points de \(E\)

(2) Le degré d'un diviseur D est la somme des ses coefficients, c'est-à-dire: \(deg(\sum_j a_{j}[P_{j}]) = \sum_j a_{j} \in Z \)

(3) La somme d'un diviseur D est notée: \(sum(\sum_j a_{j}[P_{j}]) = \sum_j a_{j}P_{j} \in E(\bar K) \)

(4) Les diviseurs de degré 0 forment un sous-groupe noté \(Div^0(E)\)

(5) Soit \(E\) une courbe elliptique et \(f\) une fonction non nulle sur \(E\). Le diviseur associé à cette fonction est noté : \(div(f) = \sum_{P\in E(\bar K)} ord_{P}(f)[P]\)

Proposition 11.1

Proposition : Soit \(E\) une courbe elliptique et \(f\) une fonction non nulle sur \(E\). Alors:

(1) \(f\) possède un nombre fini de zéros ainsi que de pôles

(2) \(deg(div(f))=0\)

(3) Si \(f\) ne possède ni de zéros ni de pôles (alors \(div(f)=0\)) alors f est une constante.

Théorème 11.2 [modifica]

Pour la démonstration de ce théorème nous supposons connus le lemme 11.3 ainsi que la proposition 11.1

Théorème : Soient \(E\) une courbe elliptique et \(D\) un diviseur sur \(E\) avec \(Deg(D)=0\). Alors, il existe une fonction \(f\) sur \(E\) avec \(Deg(f)=D\) si et seulement si \(sum( D) = \infty\).

Remarques:

(1) Ce qui se trouve dans le préambule ainsi que dans le début de la preuve est une préparation à la démonstration du théorème 11.2

(2) Connaître le lemme 11.3 est indispensable pour montrer l'équivalence \(\Longleftarrow \). L'autre équivalence se démontre sans utiliser ce lemme.

Préambule :

Soient \(P_{1} , P_{2}\) et \( P_{3}\) trois points sur la courbe elliptique \(E\) et qui se trouvent sur la droite \(ax + by + c = 0\) (on sait, de plus que, \(P_{1} + P_{2} + P_{3} = 0) \). Soit la fonction définie par \(f(x,y) = ax + by + c\), on a alors que cette fonction possède des zéros en \( P_{1}, P_{2} \) et \( P_{3}\).

Si \(b \neq 0\) alors \(f\) a un pôle triple en \(\infty\). En effet, pour les trouver, nous allons utiliser l'uniformisateur à \( \infty \), qui est donné par \( \frac{x}{y} \). Nous avons:

\(ax + by +c = (\frac{y}{x})^3(a\frac{x^4}{y^3} + b\frac{x^3}{y^2} + c\frac{x^3}{y^3}) \)

Nous remarquons que :

(1) \(c\frac{x^3}{y^3} \to 0\) à l'infini

(2) \(a\frac{x^4}{y^3} \to \frac{y^{\frac{2}{3}}}{y} =y^ {\frac{-1}{4}} \to 0\) à l'infini

(3) si \( b \neq 0\) grâce à l'équation de la courbe (en faisant \(x^3 = y^2 - Ax -B\) ) on obtient que \( b\frac{x^3}{y^2} \to b(1- \frac{Ax}{y^2} - \frac{B}{y^2}) \)

Ce qui nous donne:

\(ax + by +c = (\frac{y}{x})^3(a\frac{x^4}{y^3} + b\frac{x^3}{y^2} + c\frac{x^3}{y^3}) \) = \((\frac{y}{x})^3(b + ...) \)

Et donc on a bien un pôle d'ordre 3.

Par conséquent, (par définition d'un diviseur d'une fonction), nous avons:

\( div(ax + by + c) = [P_{1}] + [P_{2}] + [P_{3}] - 3[ \infty] \). (A)

De plus, la droite qui passe par \(P_{3} = (x_{3}, y_{3})\) et \(-P_{3}\) est la droite : \(x-x_{3}\) = 0 et (par définition d'un diviseur d'une fonction) le diviseur de la fonction \(x-x_{3}\) est :

\(div(x-x_{3}) = [P_{3}] + [-P_{3}] - 2[\infty]\) (B)

De plus, il a été présenté dans un autre sujet que l'équation d'une courbe elliptique est de degré 3 et donc nous avons au plus 3 racines.

Donc, en combinant (A) et (B), nous avons :

\( div(\frac{ax+by+c}{x-x_{3}}) = div(ax+by+c) - div(x-x_{3}) = [P_{1}] + [P_{2}] - [-P_{3}]- [\infty]\) (C)

Comme \(P_{1} + P_{2} = - P_{3}\) sur \(E\), nous pouvons, grâce à (B), réécrire \( [P_{1}]+[P_{2}\)]de la façon suivante:

\( [P_{1}]+[P_{2}] = [P_{1}+P_{2}] +[ \infty]\) + \(div(\frac{ax+by+c}{x-x_{3}})\). (D)

Nous venons donc de voir que si nous considérons deux cas ( ie le cas 1: lorsqu'on a un point = \(\infty \) et le cas 2: lorsqu'on a aucun point = \(\infty\) ) on obtient le même résultat. (E)

Démonstration :

Par ce qui vient d'être dit dans le préambule (ie en (D)), nous avons que \( [P_{1}]+[P_{2}] \) peut être remplacé par \( [P_{1}+P_{2}] +[ \infty]\) + le diviseur d'une fonction \(g\) sur E. c'est-à-dire: \( [P_{1}]+[P_{2}] = [P_{1}+P_{2}] +[ \infty]\) + \(div(g)\).

Ce qui nous donne: \(div(g)\) = \( [P_{1}]+[P_{2}] - [P_{1}+P_{2}] -[ \infty]\)

Maintenant, si nous passons à la somme d'un diviseur nous avons: \(sum (div(g)) = P_{1} + P_{2} - ( P_{1} + P_{2}) - \infty \) = - \(\infty\) = \(\infty\) (car \(\infty\) est l'élément neutre)

De plus on sait par (B)que : \( [P_{1}]+[P_{2}] = 2[\infty] + div\)( d'une fonction lorsque \(P_{1} +P_{2} = \infty \) )

Donc grâce à (E), nous avons que la somme de tous les termes en D avec les coefficients positifs est égal à \([P ]+\) m \([\infty] + div\) (d'une fonction). Pour les coefficients négatifs, un résultat est similaire.

Ce qui nous donne : \([P] - [Q]+ n[\infty] + div\) (fonction)

Donc, il existe deux points \( P\) et \(Q\) sur la courbe elliptique, une fonction \(g_{1} \) et un entier \(n\) tels que: \( D = [P] - [Q] + n[\infty] + div(g_{1}) \). (F)

Alors, lorsque \(g_{1}\) est le quotient de produits de fonction \(g\) avec \( sum (div(g)) = \infty\) nous avons: \( sum (div(g_{1})) = \infty \) (G)

Par le point (2) de la proposition 11.1 nous avons :\(deg(div(g_{1})) = 0\) et donc : \( 0 = deg(D) = 1 - 1 + n + 0 = n \)

Donc, si nous réécrivons (F), nous avons : \( D = [P] - [Q] + div(g_{1}) \) (H)

Maintenant, si nous passons à la somme d'un diviseur et grâce à (G), nous avons: \( sum( D) = P - Q + sum( div(g_{1})) = P - Q + \infty = P - Q \). (car \(\infty\) est l'élément neutre) (J)

Ainsi, nous pouvons montrer le théorème 11.2

\(\Longrightarrow \)

Supposons que \( sum (D) = \infty\) Alors par ce que nous venons de voir, ie par (J), nous avons: \(P - Q = \infty\) et comme \(\infty\) est l'élément neutre nous avons alors que \( P = Q\) et donc par (H), nous avons que \( D = div(g_{1})\)

\(\Longleftarrow \)

Supposons que \( D = div(f)\) pour une certaine fonction \(f\). Alors, grâce au fait que \(D= [P] -[Q] + div(g_{1})\) nous avons : \( [P] - [Q] = div(\frac{f}{g_{1}}) \) Et par le lemme 11.3, nous avons que \( P = Q \) et par conséquent \( sum (D) = \infty\)

Lemme 11.3 [modifica]

Lemme: Soit \( P, Q \in E(\bar{K})\) et on suppose qu'il existe une fonction \(h\) sur \(E\) avec \( div(h) = [P] - [Q]\). Alors \(P = Q \)

Corollaire 11.4 [modifica]

Corollaire : L'application : \(sum : Div^{0}(E)\) / (diviseurs principaux) \(\longrightarrow E(\bar{K})\) est un isomorphisme de groupe

Démonstration

• Pour montrer l'homomorphisme, je vous le laisse en exercice.

• La surjectivité découle directement du fait que \(sum ( [P] - [\infty])= P - \infty = P \).

• Calculons maintenant le noyau de l'homomorphisme sum.

Le noyau de l'homomorphisme correspond aux diviseurs qui sont envoyés vers \(\infty\) (qui est le neutre dans \(E(\bar K)\)). Et grâce au théorème 11.2 qui nous assure l'existence d'une fonction \(f\) sur \(E\) avec \(Deg(f)=D\) si et seulement si \(sum( D) = \infty\), puis grâce à la définition d'un diviseur d'une fonction nous obtenons que le noyau correspond exactement aux diviseurs principaux. Et maintenant par le premier théorème d'isomorphisme, nous pouvons conclure que sum induit un isomorphisme de \(Div^{0}(E)\) / (diviseurs pricipaux) vers \( E(\bar{K}) \)

Remarque : Ce corollaire nous dit que la loi du groupe sur \(E(\bar{K})\) correspond à la loi naturelle sur \(Div^{0}(E)\) mod(les diviseurs principaux)

Références [modifica]

[1] Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Section 11.1.