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Rédacteur: Gabriel Martin

A traiter [edit]

• Diviseurs, degré, somme.
• Fonctions sur les courbes elliptiques, zéros, poles, uniformisateur, ordre d'une fonction en un point.
• Exemples.
• Proposition 11.1: énoncé.
• Diviseurs principaux.

Diviseurs [edit]

Définition: Soit \(E\) une courbe elliptique définie sur un corps \(K\). Pour chaque point \(P \in E(\bar K)\) nous définissons un symbole [P]. On appelle \(D\) un diviseur de \(E\), si \(D\) est une combinaison linéaire finie de tels symboles où leurs coefficients sont entiers ie. \( D = \sum_j a_{j} [P_{j}] \)

Le groupe formé par les diviseurs est noté \(Div(E)\)

Degré et somme d'un diviseur

On définit le degré d'un diviseur comme la somme de ses coefficients entiers:

\(deg(\sum_j a_{j}[P_{j}]) = \sum_j a_{j} \in \mathbb{Z} \)

et sa somme par:

\(sum(\sum_j a_{j}[P_{j}]) = \sum_j a_{j}P_{j} \in E(\bar K) \)

Fonctions sur les courbes elliptiques [edit]

Une fonction sur une courbe elliptique \(E\) est une fonction rationnelle de la forme

\(f(x,y) \in \bar K (x,y) \) qui est définie pour au moins un point dans \(E(\bar K)\)

Rappel \(\bar K (x,y) \) est l'ensemble des fonctions rationnelles à coefficients dans \(\bar K \)( la clôture algébrique de K)

exemple:

Pour la courbe elliptique \(E\) donnée par \(y^2 = x^3 +Ax +B\)

La fonction rationnelle \(\frac{1}{(y^2-x^3-Ax-B)}\) n' est pas une fonction sur cette courbe, car pour tout point \(P \in E\), \(f\) n'est pas définie

Remarque:

Certaines fonctions qui ne semblent pas être définies pour certains points peuvent l'être suite à une reformulation de celles-ci.

Supposons qu'une courbe elliptique ait comme équation \(y^2=x^3-x\).

La fonction \(f(x,y)= \frac{x}{y}\) n'est pas définie pour le point \((0,0)\). Par contre notre fonction peut se reformuler sur \(E\) de la manière suivante \(\frac{x}{y} = \frac{y}{(x^2-1)}\) et ainsi notre fonction au point \((0,0)\) vaut désormais \(0\)

Zéros, pôles, et ordre d'une fonction elliptique

On dit qu'une fonction \(f\) possède un zéro au point \(P\) si \(f(P)= 0\) et un pôle au point \(P\) si \(f(P)\) =\(\infty\)

Uniformisateur

Un uniformisateur au point \(P\) est une fonction notée \(u_{P}\) avec \(u_{P}(P)=0\) telle que toute fonction \(f\) peut se factoriser de la forme

\(f=u_{P}\)\(^rg\)

avec \(r \in Z\) et \(g(P) \neq 0\) ou \(\infty\).

L'ordre d'une fonction \(f\) au point \(P\) est définie comme étant ce même \(r\) ( ie. \(ord_{P}(f) = r\))

Remarques:

• Tout point \(P\) sur une courbe possède un uniformisateur.
• L'uniformisateur permet de savoir l'ordre d'un zéro ou d'un pôle d'une fonction à un certain point \(P\).

Exemples [edit]

1. Reprenons notre courbe elliptique de la remarque (\(y^2 = x^3-x\)). Celle-ci peut se réécrire:

x=\(y^2 \frac{1}{x^2-1}\)

car \(y\) est un uniformisateur au point \((0,0)\). Nous obtenons ainsi \(x= y^2 \frac{1}{x^2-1} = -1 \)(\( \neq 0\) ou \(\infty \)). Donc \(ord_{(0,0)}(x) =2\) et \(ord_{(0,0)}(\frac{x}{y})=1\) comme on pouvait s'y attendre car nous avons vu que \(\frac{x}{y}\) vaut \(0\) au point \((0,0)\)

2. Prenons cette fois un point fini \(P = (-2,8)\) sur la courbe elliptique \(y^2=x^3+72\). La droite \(x+2 = 0\) passe par \(P\). Étant donné que \(y_0 ≠0 \) nous pouvons prendre comme uniformisateur

\(u_{P}(x,y)=x-x_0 = x+2\).

La fonction \(f(x,y)= x+y-6\) vaut \(0\) au point \(P\). Cette fonction peut être réécrite sur \(E\) de la forme

\((y+8)(y-8)=(x+2)^3- 6 (x+2)^2+12(x+2)\)

ainsi:

\(f(x,y)= (x+2) +(y-8)=(x+2)(1+\frac{(x+2)^2-6(x+2)+12 }{y+8})\)

Le terme \(J=(x+2)(1+\frac{(x+2)^2-6(x+2)+12}{y+8})\) est fini et ne s'annule pas en \(P\). On peut donc réécrire \(f\) comme

\(f(x,y)= u_{p}J\)

d'où \(ord_P (f) = 1\)

Proposition 11.1 [edit]

Soit \(E\) une courbe elliptique et \(f\) une fonction non nulle sur \(E\). Alors:

1. \(f\) possède un nombre fini de zéros ainsi que de pôles
2. \(deg(div(f))=0\)
3. Si \(f\) ne possède ni de zéros ni de pôles alors \(f\) est une constante.

Diviseurs principaux [edit]

Un diviseur principal est un diviseur associé à une fonction par:

\(div(f) =\sum_{P\in E(\bar K)}ord_{P}(f)[P] \in Div(E)\)

qui est une somme finie comme annoncé par la Proposition 11.1

Références [edit]

[1] Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Sections 11.1.