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Rédacteur: Kylian Mouton Do Nascimento

A traiter [Modifier]

• Les groupes abéliens associés aux courbes elliptiques sur \( F_p \) sont discrets, donner un exemple simple. On étudiera leur structure plus en détail dans un sujet suivant.
• Groupes abéliens associés aux courbes elliptiques sur \( \mathbb{Q} \).
• Groupes abéliens associés aux courbes elliptiques sur \( \mathbb{R} \). Discuter l'interprétation géométrique de la loi de groupe.
• Groupes abéliens associés aux courbes elliptiques sur \( \mathbb{C} \). Les courbes elliptiques complexes sont des tores. Dire deux mots sur la fonction elliptique \( \wp \) de Weierstrass.

Groupe abéliens associés aux courbes elliptiques sur \( F_p \) [Modifier]

Soit \( p \) un entier et \( F_p \) le corps à \( p \) éléments. Soit \(E \) la courbe elliptique associé à l'équation \( y^2= x^3 + Ax + B\) tel que \(A \) et \( B \) sont des élément de \( F_p \). Naturellement le groupe associé à sa courbe elliptique, \(E(F_p) \) ,sera fini puisque \( F_p\) l'est lui aussi et \( y^2= x^3 +Ax +B \) admet donc un nombre fini de solutions.

De plus on sait que la loi de composition est commutative (cf sujet 4). Le théorème de classification des groupes abéliens finis nous indique alors que \(E(F_p) \) \(\cong\) \(\prod_{k=1}^n \mathbb{Z}\ /p_k^{\alpha_k}\mathbb{Z}\ \) tel que \(p_k\) est une suite de premiers pour \(k=1,…n \).

\(\alpha_k\) une suite d’entiers positifs pour \(k=1,…n\).

Exemple pour \(\mathbb{Z}\ / 5\mathbb{Z}\ \)

Soit \( y^2= x^3+x \).

Les solutions sont : \((0,0)\) , \((2,0)\), \((3,0)\) . On remarque que tous les éléments sont d'ordre 2. En effet (cf sujet 4) : \( 2(0,0)= 2(2,0)=2(3,0)= \infty\ \). On en déduit donc que \(E(F_p)\) \(\cong\) \(\mathbb{Z}\ / 2\mathbb{Z}\ \times\ \mathbb{Z}\ / 2\mathbb{Z}\)

Cas pour \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{Q}\) [Modifier]

Nous ne parlerons que très brièvement de ces deux cas.

Pour \(\mathbb{R}\), l’interprétation géométrique est claire de par la construction mentionnée par le sujet 4.

Pour \(\mathbb{Q}\) nous ne mentionnerons qu’un seul résultat intéressant, le théorème de Mordell-Weil:

Théorème : Soit E la courbe elliptique associé à l’équation \(y^2=x^3+Ax+B\) alors \(E( \mathbb{Q})\) admet un nombre fini de générateurs.

Ce théorème nous indique donc qu’à partir d’un nombre fini de solutions, on peut engendrer toutes les solutions grâce à la construction évoquée dans le sujet 4.

Courbes elliptiques sur \(\mathbb{C}\) [Modifier]

Dans cette section on s'interessera au corps \(\mathbb{C}\) sur laquelle la théorie des courbes elliptique est très riche. Le principal but de cette section sera de montrer qu'un tore complexe peut-être décrit par une courbe elliptique.

Tore vu comme le plan complexe quotienté par un réseau

Soit \(\Gamma\) = \(a\mathbb{Z}\ \bigoplus\ b\mathbb{Z}\ \), tel que \(a,b \in\) \(\mathbb{C}\), un réseau.

On dit que \(z_1\sim z_2\) \(\leftrightarrow\) \(z_1 -z_2 \in\ \Gamma\ \)

On a alors que \(\mathbb{C}\ / \Gamma\) est un groupe abélien (pour la loi du \(+\)) .

Ce quotient nous fournit donc un parallélogramme complexe \( E:=\{ax+by\in \mathbb{C}\ : 0<x,y<1\}\). Intuitivement on peut prendre les bords de ce parallélogramme et recoller les bords opposés ensemble. Cela nous donne donc un tore.

Fonction de Weierstrass

Définition : Une fonction doublement périodique est une fonction méromorphe \(f(z)\) tel que il existe \(x,y \in\mathbb{C}\) où \(f(z+x)=f(z+y)=f(z)\qquad\forall z\in\mathbb{C}\)

Théorème : Soit \(\Gamma\) un réseau dans \(\mathbb{C}\). On définit \(\wp \)\((z):= \frac 1{z^2}+\sum\limits_{i\in\Gamma ,
i\ne 0}\frac 1{(z-i)^2}- \frac 1{i^2}\ \)

Alors on a que :

• 1. \(\wp\) \((z)\) converge absolument sur n'importe quel compact qui ne contient pas un élément de \(\Gamma\)

• 2. \(\wp\) \((z)\) est méromorphe sur tout \(\mathbb{C}\) et à des pôle double en chaque point de \(\Gamma\)

• 3. \(\wp\) \((-z)\)= \(\wp\) \((z)\) \(\forall z\in \mathbb{C}\)

• 4. \(\wp\) \((z+\gamma)\)=\(\wp\) \((z) \) \(\forall z\in\mathbb{C}\), \(\gamma\ \in\Gamma\)

• 5. L’ensemble de toutes les fonction doublement périodique est \(\mathbb{C} ( \wp, \wp ‘) \). Donc toute fonction doublement periodique s’exprime donc comme une fonction rationelle dépendant de \(\wp\) et \(\wp ‘ \).

Preuve: admise (voir Washington 9.3)

Sommation de Eisenstein et \(\wp (z)\)

On définit la somme de Einsenstein comme \(G_k := \sum\limits_{i\in\Gamma ,
i\ne 0}\frac 1{i^k}\,\qquad\forall k>0 \)

En particulier pour \(k\) impair on a que \(G_k=0 \).

Proposition : si \(|z|< \min_{\gamma \ne 0\in\Gamma} |\gamma| \) alors \(\wp(z)=\frac 1{z^2} +\sum_{k=1}^{\infty} (2{k}+1)G_{2{k}+2} z^{2{k}}\)

Preuve: admise (voir Washington 9.7)

On pose à présent que \(g_2:= 60G_4, g_3=140G_6\)

Théorème : \((\wp(z)’)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\)

Preuve: Par la Proposition ci-dessus,

\(\wp(z) = z^{−2} + 3G_4z^2 + 5G_6z^4 + · · ·\)

\(\wp′(z) = −2z^{−3} + 6G_4z + 20G_6z^3 + ···\) .

On met respectivement la première équation au cube et la seconde au carré :

\((\wp(z))^3 = z^{−6} + 9G_4z^{−2} + 15G_6 + ··· \)

\(\wp′(z)^2 = 4z^{−6} − 24G_4z^{−2} − 80G_6 + ···\) .

De plus on a que

Soit \(g(z) = \wp′(z)^2 − 4\wp(z)^3 + 60G_4\wp(z) + 140G_6 = \wp’(z)^2-4\wp(z)^3+g_2\wp(z)+g_3=c_1z + c_2z^2 + ···\)

Donc \(g(z)\) possède une série entière ce qui signifie qu’elle est sans pôle. De plus \(g(z)\) est doublement périodique donc bornée. Ainsi par le théorème de Liouville \(g(z)\) est constante or \(g(0)=0\) donc on a bien l’égalité annoncée.

Isomorphime entre tore et courbe elliptique

On considère \(E:=\{(x,y)|y^2=4x^3-g_2x-g_3\} = \{(x,\frac y{2})|\frac {y^2}{4}=x^3-\frac {g_2}{4} -\frac {g_3}{4}\}\)

En posant \( z = \frac {y}{2}\) on a que

\(E=\{(x,z)| z^2=x^3-\frac {g_2}{4} -\frac {g_3}{4}\}\)

Alors on a que \(\Delta=\frac {1}{16}(g_2^3-27g_3^2)\)

Proposition: \(g_2^3-27g_3^2 \ne 0\)

Preuve :admise (voir 9.9 Washington )

On a donc que \(E\) est bien une courbe elliptique tel que \((\wp(z),\wp’(z))\in E\qquad\forall z\in\mathbb{C}\)

Théorème: Soit \(\Gamma \)un réseau dans \(\mathbb{C}\)

\(\qquad\qquad \Phi: \mathbb{C}/\Gamma\mapsto E(\mathbb{C})\) \(\qquad\qquad\qquad z\mapsto (\wp(z),\wp’(z))\)

\(\qquad\qquad\qquad 0\mapsto \infty\)

est un isomorphisme.

Preuve: admise (voir Washington 9.10)

Références [Modifier]

[1] Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Section 9,2.2,8