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Rédacteur: Charlotte Baumgart

Forme usuelle de l'équation de Weierstrass [Editar]

Définition : Soit \(K\) un corps. Une courbe elliptique définie sur \(K\) est un ensemble

\(\qquad\qquad E:=\{(x,y)\in K\times K : y^2=x^3+Ax+B\}\)

où \(A,B\in K\) sont tels que \(4A^3+27B^2 \neq 0\).

Remarque : Souvent, \(K\) sera \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{Q}\), \(F_q\) avec \(q\) premier ou puissance d'un premier.

Remarque : On peut montrer que le discriminant d'une courbe elliptique est \(\Delta =-(4A^3+27B^2)\). Demander que cette quantité soit non nulle garantit l'absence de racines multiples sur la courbe.

Symétrie des solutions [Editar]

Soit \(E\) une courbe elliptique, on remarque que \(\forall (x,y)\in E\), on a également \((x,-y)\in E\) puisque la deuxième composante apparaît au carré dans l'équation.

Sur le corps des réels, cela se traduit par une symétrie du graphe de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

Graphe des solutions dans le cas réel. [Editar]

La représentation graphique d'une courbe elliptique sur le corps des réels peut se classifier de la façon suivante :

Exemple : \(y^2=x^3-x\).

Exemple : \(y^2=x^3+x\).

Espace projectif, polynôme homogène, forme homogène de l'équation de Weierstrass. Point à l'infini (voir Section 2.3). [Editar]

Définition : Soit \(K\) un corps. L'espace projectif \(P_K^2\) sur \(K\) est l'espace des triplets non nuls de \(K\) \(\{(x,y,z)\in K^3\backslash\{0\}\}\) quotienté par la relation d'équivalence \((x_1,y_1,z_1)\sim (x_2,y_2,z_3) \Leftrightarrow \exists \lambda\in K \text{ tel que } (x_1,y_1,z_1)= (\lambda x_2,\lambda y_2,\lambda z_3) \) La classe d'équivalence d'un triplet \((x,y,z)\) est notée \((x:y:z)\).

Définition : Soit \(x,y\in K\), on dit que \((x:y:0)\) est un point à l'infini dans \(P_K^2\).

Remarque : Soient \(x,y,z\in K\), \(z\neq 0\). On a \((x:y:z)=(\frac{x}{z}:\frac{y}{z}:1)\). On a donc une injection

\(\qquad\qquad\Phi : \underset{(x,y)}{A_K^2}\underset{\mapsto}{\hookrightarrow} \underset{(x:y:1)}{P_K^2}\)

Définition : Soit \( p : \underset{(x,y,z)}{K^3} \underset{\mapsto}{\to}\underset{ \underset{i,j,k}{\sum} a_{i,j,k}x^{i}y^jz^k}{K} \) un polynôme sur à trois variables. On dit que que \(p\) est homogène de degré \(n\) si \(a_{i,j,k}=0\) pour tout \((i,j,k)\) tels que \(i+j+k\neq n\).

Remarque : Si \(p\) est un polynôme homogène de degré \(n\) sur \(K^3\), alors le noyau de \(p\) est bien défini sur \(P_K^2\). En effet, \(\forall (x,y,z)\in K^3\), \(\forall \lambda\in K^*\), on a \(p(\lambda x,\lambda y,\lambda z)= \lambda ^n p(x,y,z)\), et donc si \((x_1 :y_1: z_1)=(x_2: y_2: z_2)\), on a \(p(x_1,y_1,z_1)=0 \Leftrightarrow p(x_2,y_2,z_2)=0\).

Droites passant par le point à l'infini. [Editar]

Proposition :Soient \(D_1, D_2\) deux droites parallèles dans \(A_K^2\). Alors, dans \(P_K^2\), leurs formes homogènes s'intersectent en un point à l'infini.

Preuve :

• Supposons que \(D_1,D_2\) sont données par \(y=mx+b_1\) et \(y=mx+b_2\) avec \(m, b_1\neq b_2 \in K\).
  Les expressions \(mx+b_1\) et \(mx+b_2\) correspondent à des polynômes sur \(K^2\) non homogènes.
  Soient \(mx+b_1 z\) et \(mx+b_2 z\) les formes homogènes de ces polynômes, définies sur \(K^3\).Pour trouver l'intersection entre ces deux courbes, on cherche les \((x,y,z)\) tels que \(mx+b_1 z-y=mx+b_2 z -y =0\) et on obtient les solutions \(\{(x, mx, 0), x\in K\}\).Comme chaque solution est une racine des deux polynômes homogènes, tous les éléments de sa classe d'équivalence dans \(P_K^2\) sont également des racines.
  Soit donc \((x:mx:0)\) une classe d'équivalence d'une des racines. Comme les coordonnées ne peuvent pas toutes être nulles dans \(P_K^2\), on a \(x\neq 0\) et on peut donc écrire \((x:mx:0)=(1:m:0)\)
  Toutes les solutions nous donnent ainsi la même classe dans \(P_K^2\), qui correspond à un point à l'infini.
• Supposons que les deux droites sont verticales, ie données par \(x=c_1\) et \(x=c_2\).
  Un calcul similaire nous donne la solution \((0,y,0)\) et on trouve ainsi la classe \((0:1:0)\) dans \(P_K^2\). \(\square\)

On cherche maintenant à comprendre la notion de point à l'infini pour une courbe elliptique :
Soit \(E\) donnée par \(y^2=x^3+Ax+B\). Sa forme homogène est donnée par \(y^2 z=x^3+Axz^2+Bz^3\).
L'injection d'un point \((x,y)\) de la courbe dans \(P_K^2\) donne \((x:y:1)\), comme défini plus tôt.
Les points à l'infini de \(P_K^2\) étant ceux de la forme \((x:y:0)\), ils correspondent dans \(K^3\) à ceux donnés par la forme homogène lorsqu'on remplace \(z\) par 0. On obtient \(x=0\), et donc \((0:y:0)=(0:1:0)\) puisque \(y\) doit être non nul.

On conclut donc que, comme \((0:1:0)\) appartient à toutes les droites verticales, la courbe \(E\) les intersecte toutes.

Références [Editar]

[1] Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Sections 2.1 et 2.3.