Informations du cours

Objectifs

Ce cours est une continuation d’Analyse I (automne) et d’Algèbre I
(automne). Il traite des sujets plus avancés de mathématiques, qui
sont importants pour les étudiants en informatique, et il donne les
bases théoriques pour les sujets traités au cours "Analyse numérique"
en deuxième année.

Contenu (prévu):

1. Topologie de l'espace euclidienne et fonctions continues.
   Distances, normes, convergence, ensembles ouverts et fermés,
   fonctions à plusieurs variables, continuité, courbe de
   Peano-Hilbert.

2. Calcul matriciel.
   Rappel de l'algèbre linéaire, forme normale de Schur, matrices
   orthogonales, formes quadratiques, classification des
   hyper-quadriques matrices définies positives, norme d'une matrice,
   applications bilinéaires et multilinéaires, décomposition en
   valeurs singulières.

3. Calcul différentiel (plusieurs variables).
   Dérivées partielles, différentiablité, dérivées d'ordre supérieur,
   série de Taylor, théorème des accroissements finis, théorème
   d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. surfaces et
   sous-variétés, espace tangent.

4. Optimisation.
   Maxima relatifs, paramètres de Lagrange, programmation linéaire,
   algorithme du simplexe.

5. Calcul intégral.
   Primitives, applications du calcul intégral, techniques
   d'intégration et substitutions importantes.

6. Equations différentielles ordinaires.
   Quelques types d'équations intégrables, équations différentielles
   linéaires, itération de Picard-Lindelöf, existence et unicité de
   solutions de systèmes d'équations non linéaires.

7. Séries de Fourier.
   Exemples et étude élémentaire de convergence, noyau de Dirichlet,
   convergence ponctuelle et en moyenne quadratique. Polynomes trigonométriques, série de Fourier, étude élémentaire de convergence, noyau de Dirichlet.